デザイン制作の修正作業の最終段階において、「修正指示を出すが、もうその反映を確認しないので、修正して校了してください」という指示のこと。発注者が、制作会社のデザイナーや、印刷会社のオペレーターに対して出す指示のひとつ。
印刷物の場合は、次の工程は入稿となるので、間違いがあっても後戻りできない。

デザインや印刷の現場では、責任校了を略して、責了と言うことが多いです。
ちゃんと確認すればいいのに、なぜそれを怠るのか？と思われるかもしれませんが、だいたいにおいて制作現場というのはタイトスケジュールで動いています。最終段階で、もうあとちょっとという場合は、わざわざ確認する手間を省いてしまうというのは、よくあることなのです。
最終段階には、制作者と責任者の間で、下のようなやりとりが頻発します。

【発注責任者】修正してください。
↓
【デザイナー】修正しました。確認してください。
↓
【発注責任者】確認しました。ここも修正して。
↓
【デザイナー】修正しました。確認してください。
↓
【発注責任者】確認しました。あとここだけ修正して。

いちいちデータの受け渡しをして進めます。
修正も確認も、作業自体は数分程度だとしても、相手が捕まらないと半日くらい進行が止まってしまいます。
だから、締め切りがギリギリの場合、最終段階で発注責任者が「この修正だけ入れたら責了で！」となるわけです。

責了は発注責任者が最終確認をしないので、「信じてるから。あとは任せたよ」という意味なのですが、その上で修正に漏れがあった場合「修正してと言ったのに！どうしてくれる！」とキレる権利があるかどうかはわかりません。
責任校了の「責任」は、誰がとるのか？実はこれ、業界でも曖昧なのです。

インターネットで責了という言葉を調べると、「印刷会社に責任を負わせて校了する」「最終的に修正を行う者の責任とする校了」という説明が出てきます。
そういった係争、判例があるかはわかりませんが、その言い分が通る確証はありません。鵜呑みにしない方が安全でしょう。
最終的な校了サインを出すのは発注責任者の仕事です。「あとは任せた」で、全責任を相手に押しつけるのはベストなやり方ではないので……。

どうしても責了するなら、「最終確認をしない代わりに、何かあっても責任は私が取ります」という意味を含んで行うのが筋でしょう。
大事な制作物なら、発注責任者が最後まで確認して校了することをおすすめします！